Question

若函数f（x）在定义域R内可导，f（1+x）=f（1-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＞0设a=f(0)，b=f(

3

2

)，c=f(3)，则（　　）

A．a＜b＜c

B．c＜a＜b

C．c＜b＜a

D．b＜a＜c

Answer 1

分析：由f（1+x）=f（1-x）知函数f（x）的图象关于x=1对称，再结合“当x∈（-∞，1）时（x-1）f′（x）＜0”，判断函数的单调性，再把自变量转化到单调区间内，由函数的单调性判断大小．

解答：解：∵函数f（x）在定义域R内可导，f（1+x）=f（1-x），
∴函数f（x）的图象关于x=1对称．
∵当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＞0，
∴x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0，
即函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∵f（0）=f（2），且1＜

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2

＜2＜3，
∴f(

3

2

)＜f(0)＜f(3)，即b＜a＜c，
故选D．

点评：本题考查利用导数研究函数单调性的应用，函数图象的对称轴的判断，以及转化思想．