Question

已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足

f(x)

g(x)

=ax，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若有穷数列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)的前n项和等于

31

32

，则n=

5

．

Answer 1

分析：根据函数商的导数公式确定a的范围，利用方程求得a值，从而可得有穷数列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，即可求得结论．

解答：解：∵函数f（x），g（x）满足

f(x)

g(x)

=ax，
∴(ax)′=(

f(x)

g(x)

)′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴（a^x）′＜0
∴（a^x）′=a^xlna＜0，∴0＜a＜1
∵

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，∴a+

1

a

=

5

2

∴a=

1

2

或a=2（舍去）
∴有穷数列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列
∵有穷数列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)的前n项和等于

31

32

，
∴

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

31

32

∴(

1

2

)n=

1

32

∴n=5
故答案为：5

点评：本题考查数列与函数的综合，考查导数知识的运用，确定有穷数列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列是关键．