Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）求证：平面AED⊥平面A₁FD₁；
（2）在AE上求一点M，使得A₁M⊥平面ADE．

Answer 1

证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
设平面AED的法向量为
=（x₁，y₁，z₁），
则=（x₁，y₁，z₁）•（2，0，0）=0，
=（x₁，y₁，z₁）•（2，2，1）=0，
∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0．
令y₁=1，得=（0，1，-2），
同理可得平面A₁FD₁的法向量=（0，2，1）．
∵=0，∴，
∴平面AED⊥平面A₁FD₁．
（2）由于点M在直线AE上，
设=λ（0，2，1）=（0，2λ，λ）．
可得M（2，2λ，λ），∴=（0，2λ，λ-2），
∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，
只需A₁M⊥AE，
∴=（0，2λ，λ-2）•（0，2，1）=5λ-2=0，
解得λ=．故当A=A时，A₁M⊥平面ADE
分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，不妨设正方体的棱长为2，设平面AED的法向量为=（x₁，y₁，z₁），
利用=0，=0，得=（0，1，-2），同理可得平面A₁FD₁的法向量=（0，2，1）．
通过=0，证明平面AED⊥平面A₁FD₁．
（2）由于点M在直线AE上，设=（0，2λ，λ）．=（0，2λ，λ-2），利用AD⊥A₁M，=0，推出5λ-2=0，
解得λ=．故当A=A时，A₁M⊥平面ADE点M在直线AE上，
点评：本题是中档题，考查平面与平面的垂直，注意向量的数量积的应用，直线与平面的垂直，考查计算能力，常考题型．