Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，H是AB的中点，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：FH∥平面PBC；
（2）求证：平面PAB∥平面EFG．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的中位线平行于底边，且等于底边长的一半，可证四边形EFHB为平行四边形，从而得到FH∥EB，再由线线平行⇒线面平行；
（2）证明平面EFG中的两条相交直线EG、EF分别平行于平面PAB，由面面平行的判定定理可证平面PAB∥平面EFG．

解答：证明：（1）连接EB，FH，∵E、F、H分别是PC、PD、AB的中点，
∴EF=

1

2

CD，EF∥CD，∴BH=EF且SH∥EF，
∴四边形EFHB为平行四边形，∴FH∥EB，
又FH?平面PBC，BE?平面PBC，∴FH∥平面PBC．
（2）∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AB
又EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB；
∵EG∥PB，EG?平面PAB，PB?平面PAB，
又EF∩EG=E，∴平面PAB∥平面EFG．

点评：本题考查线面平行的判定，考查面面平行的判定，考查了学生的空间想象能力与推理运算能力，证明线面平行一般有两种思路，1、由线线平行⇒线面平行；2、由面面平行⇒线面平行．