Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）设b_n=S_n-3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ即S_n+1=2S_n+3ⁿ，而b_n=S_n-3ⁿ，因此可得数列{b_n}是等比数列，利用等比数列通项公式的求法，即可求得结果；
（2）由（1）知S_n=3ⁿ+（a-3）2^n-1，n∈N^*，当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，可求，注意验证a₁=S₁=a，从而可得数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）依题意，S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，…（3分）
由此得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．                              …（6分）
因此，所求通项公式为b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．                          …（8分）
（2）由①知S_n=3ⁿ+（a-3）2^n-1，n∈N^*，
于是，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+（a-3）×2^n-1-3^n-1-（a-3）×2^n-2=2×3^n-1+（a-3）2^n-2，…（12分）
a₁=S₁=a（13分）
∴an=

a，n=1 2×3n-1+(a-3)2n-2，n≥2

…（14分）

点评：本题以数列为载体，考查数列的通项的求解，考查构造法，有一定的技巧．