Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x，数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，ln2+lna_n+1=a_n+1a_n+f（a_n+1a_n）
（1）求证：ln（1+x）≤x：
（2）求证：数列{

1

an-1

}是等差数列；
（3）求证：a₁+a₂+…+a_n＜n+ln2-ln（n+2）

Answer 1

分析：（1）要证ln（1+x）≤x，只需证明f（x）≤0，利用导数可求得f（x）的最大值f（x）_max，则f（x）≤f（x）_max，可证；
（2）由ln2+lna_n+1=a_n+1a_n+f（a_n+1a_n）可得数列递推式，表示出a_n+1后可得

1

an+1-1

与

1

an-1

的关系，根据等差数列的定义可作出可作出判断；
（3）由（2）可可求得

1

an-1

，从而可得a_n，进而可求得a₁+a₂+…+a_n，由（1）问结论可得不等式，在不等式中令x=

1

n+1

，依次进行放缩可得结论；

解答：解：（1）由f（x）=ln（1+x）-x，得f′（x）=

1

1+x

-1=-

x

1+x

，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，y=f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，y=f（x）单调递减，且f′（0）=0，即x=0是极大值点，也是最大值点，
∴f（x）=ln（1+x）-x≤f（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x=0时取到等号；
（2）由ln2+lna_n+1=a_n+1a_n+f（a_n+1a_n），得2a_n+1=a_n+1a_n+1，an+1=

1

2-an

，
∴an+1-1=

1

2-an

-1=

an-1

2-an

，则

1

an+1-1

=

1

an-1

-1，
∴数列{

1

an-1

}是等差数列，首项为

1

a1-1

=-2，公差为-1，；
（3）由（2）可知

1

an-1

=-n-1，∴an=

n

n+1

=1-

1

n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n=1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

n+1

=n-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

），
又x＞0时，有x＞ln（1+x），令x=

1

n+1

＞0，则

1

n+1

＞ln(1+

1

n+1

)=ln

n+2

n+1

，
∴n-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

）＜n-（ln

3

2

+ln

4

3

+ln

5

4

+…+ln

n+1

n

+ln

n+2

n+1

）
=n-ln（

3

2

×

4

3

×…×

n+2

n+1

）=n-ln

n+2

2

=n+ln2-ln（n+2），
∴a₁+a₂+…+a_n＜n+ln2-ln（n+2）．

点评：本题考查利用导数求函数的最值，考查不等式的证明，考查不等式与数列的综合，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，能力要求高．