Question

已知函数f（x）=log_ax²（a＞0，a≠1），其导函数为f'（x），g（x）=a^x-1，若f′(3)•g(-

1

2

)＜0，则y=f（x），y=g（x）在同一坐标系中的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：由f（x）=log_ax²（a＞0，a≠1），可求得f'（x）=

2

xlna

，从而f′（3）=

2

3lna

，由g（x）=a^x-1，可求得g（-

1

2

），再由f′(3)•g(-

1

2

)＜0可求得0＜a＜1，从而可判断答案．

解答：解：∵f（x）=log_ax²（a＞0，a≠1），
∴f'（x）=

2

xlna

，故f′（3）=

2

3lna

，
又g（x）=a^x-1，
∴g（-

1

2

）=a-

3

2

＞0，
∵f′(3)•g(-

1

2

)＜0，即

2

3lna

•a-

3

2

＜0，
∴0＜a＜1；
∴f（x）=log_ax²（a＞0，a≠1）为（0，+∞）上的减函数，
又f（-x）=f（x），
∴f（x）=log_ax²（a＞0，a≠1）为偶函数，故其图象关于y轴对称，可排除C、D；
由0＜a＜1得g（x）=a^x-1为减函数，可排除B，
而A均满足．
故选A．

点评：本题考查函数的图象，难点在于对a的范围的确定，考察了学生综合分析与应用函数性质的能力，属于中档题．