Question

在正棱锥P—ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E、F分别为BC、PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.

(1)求证:平面GEF⊥平面PBC;

(2)求证:EG是PG与BC的公垂线段.

Answer 1

解：(1)方法一:如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

令PA=PB=PC=3,则

A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0),

于是=(3,0,0),=(1,0,0),

故=3,

∴PA∥FG.

而PA⊥平面PBC,∴FG⊥平面PBC.

又FG平面EFG,

∴平面EFG⊥平面PBC.

方法二:同方法一,建立空间直角坐标系,则

E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0).

∴=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).

设平面EFG的法向量是n=(x,y,z),

则有n⊥,n⊥.

∴

令y=1,得z=-1,x=0,即n=(0,1,-1).

而显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.

这样n·=0,

∴n⊥,即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直.

∴平面EFG⊥平面PBC.

(2)∵=(1,-1,-1),=(1,1,0),=(0,-3,3),

∴=1-1=0,

=3-3=0.

∴EG⊥PG,EG⊥BC.

∴EG是PG和BC的公垂线段.

绿色通道：

证明面面垂直通常有两种方法,一是利用面面垂直的判定定理,转化为线面垂直、线线垂直去证明;二是证明两个平面的法向量互相垂直.