题目内容

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y），
（1）证明：f（x）在定义域上是增函数；
（2）若 $数学公式$ ，解不等式 $数学公式$ ．

证：（1）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（5分）
（2）解：令 $\text{[math]}$ ，y=1得， $\text{[math]}$
令x=2， $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$
令x=y=2得，f（4）=f（2）+f（2）=2
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
因此， $\text{[math]}$ ，即原不等式的解集为[1+ $\text{[math]}$ ，+∞）（12分）
分析：（1）要掌握定义法证明单调性的前提是x₁＜x₂，判断f（x₂）＞f（x₁）即可，准确构造条件当x＞1时，f（x）＞0，取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂， $\text{[math]}$ ，进而得出结论；
（2）要利用第一问的结论，加上条件f（x•y）=f（x）+f（y），利用单调性即可解出答案．
点评：本题要掌握定义法证明单调性的前提是x₁＜x₂，判断f（x₂），f（x₁）的大小；另外如果第一问无法准确得出，可以直接将结论应用于第二问．

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已知函数f（x）=log₃

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．

下列说法正确的有（　　）个．
①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=

f(ξi)△x中ξ_i的选取是任意的，且I_n仅于n有关．
⑤已知2i-3是方程2x²+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

已知函数f（x）=sin（2x-

），g（x）=sin（2x+

），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，S₂．则

为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

已知函数f（x）=x³-ax+b存在极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
（ⅰ）证明：a=b；
（ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．