Question

【题目】已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的图象过点B（0，﹣1），且在（ ， ）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1 ， x2∈（﹣ ，﹣ ），且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（ ）
A.﹣
B.﹣1
C.1
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点B（0，﹣1），

∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣ ，

又|φ|＜ ，∴φ=﹣ ，

∴f（x）=2sin（ωx﹣ ）；

又f（x）的图象向左平移π个单位之后为

g（x）=2sin[ω（x+π）﹣ ]=2sin（ωx+ωπ﹣ ），

由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z；

又 ﹣ ≤ = ，

∴ω≤ ，∴ω=2；

∴f（x）=2sin（2x﹣ ），其图象的对称轴为x= + ，k∈Z；

当x1，x2∈（﹣ ，﹣ ），其对称轴为x=﹣3× + =﹣ ，

∴x1+x2=2×（﹣ ）=﹣ ，

∴f（x1+x2）=f（﹣ ）

=2sin[2×（﹣ ）﹣ ]

=2sin（﹣ ）

=﹣2sin

=﹣2sin =﹣1．

应选：B．

【考点精析】掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换是解答本题的根本，需要知道图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．