Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、[

  2

  ，+∞)
• B、[2，+∞）
• C、（0，2]
• D、[-

  2

  ，-1]∪[

  2

  ，

  3

  ]

Answer 1

分析：2f（x）=f（

2

x），由题意可知f（x）为R上的增函数，故对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立可转化为x+t≥

2

x对任意的x∈[t，t+2]恒成立，此为一次不等式恒成立，解决即可．也可取那个特值排除法．

解答：解：（排除法）当t=

2

则x∈[

2

，

2

+2]得f(x+

2

)≥2f(x)，即(x+

2

)2≥2x2?x2-2

2

x-2≤0在x∈[

2

，

2

+2]时恒成立，而x2-2

2

x-2最大值，是当x=

2

+2时出现，故x2-2

2

x-2的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，
同理再验证t=3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t=-1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项
故选A

点评：本题考查函数单调性的应用：利用单调性处理不等式恒成立问题．将不等式化为f（a）≥f（b）形式是解题的关键．