Question

如图,已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为D₁C₁、B₁C₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q.求证：

（1）D、B、F、E四点共面；

（2）若A₁C交平面DBEF于R点，则P、Q、R三点共线.

Answer 1

证明：（1）∵EF是△D₁B₁C₁的中位线，∴EF∥B₁D₁.?

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁BD,∴EF∥BD.?

?∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面.?

（2）正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，设A₁ACC₁确定的平面为α，又设平面BDEF为β，∵Q∈A₁C₁,∴Q∈α.?

又Q∈EF,∴Q∈β.?

则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α和β的公共点，∴α∩β=PQ.?

又A₁C∩β=R，∴R∈A₁C.?

∴R∈α且R∈β.则R∈PQ.?

故P、Q、R三点共线.