题目内容
设a≥0，f （x）=x-1-ln2x+2a ln x（x>0）。
（1）令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值；
（2）求证：当x>1时，恒有x>ln2x-2aln x+1。
（1）令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值；
（2）求证：当x>1时，恒有x>ln2x-2aln x+1。
解：（1）根据求导法则有
故
于是
列表如下：
故知F（x）在
内是减函数，在
内是增函数，
所以，在
处取得极小值
。
（2）由
知，
的极小值
于是由上表知，对一切
，恒有
从而当
时，恒有
，
故
在
内单调增加
所以当
时，
，即
故当
时，恒有
。
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