题目内容
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜?＜
）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
，且图象上一个最低点为M（
，-2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，
]，求g(x)=f(x)+f(x+
)的值域．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
分析：（I）根据函数的最值求出A=2，利用周期公式算出ω=2．再将点（
，-2）代入表达式解出φ=
，由此即可得到f（x）的解析式；
（II）根据（I）的结论算出g(x)=2
sin(2x+
)，再利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得g（x）在 x∈[0，
]上的值域．
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（II）根据（I）的结论算出g(x)=2
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 6 |
解答：解：（I）由最低点为M（
，-2），
可得函数的最小值为-2，所以A=2．
∵图象与x轴上相邻的两个交点之间的距离为
，
∴周期T满足
=
，
即T=π，解得ω=
=2．
又∵点（
，-2）在图象上，
∴2sin(2×
+φ)=-2
可得sin(2×
+φ)=-1，
∴
+φ=-
+kπ（k∈Z）
结合φ∈（0，
）取k=2得φ=
-
=
由此可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+
）；
（II）由（1）的结论，可得
g(x)=2sin(2x+
)+2sin(2x+
+
)=2sin(2x+
)+2cos(2x+
)
∴利用辅助角公式，化简得g(x)=2
sin(2x+
)
∵x∈[0，
]，得2x+
∈[
，
]．
∴sin（2x+
）∈[
，1]，
因此可得g（x）在x∈[0，
]上的值域为[2，2
]．
| π |
| 3 |
可得函数的最小值为-2，所以A=2．
∵图象与x轴上相邻的两个交点之间的距离为
| π |
| 2 |
∴周期T满足
| T |
| 2 |
| π |
| 2 |
即T=π，解得ω=
| 2π |
| T |
又∵点（
| 2π |
| 3 |
∴2sin(2×
| 2π |
| 3 |
可得sin(2×
| 2π |
| 3 |
∴
| 4π |
| 3 |
| π |
| 2 |
结合φ∈（0，
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 6 |
由此可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
（II）由（1）的结论，可得
g(x)=2sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴利用辅助角公式，化简得g(x)=2
| 2 |
| 5π |
| 12 |
∵x∈[0，
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| 3π |
| 4 |
∴sin（2x+
| 5π |
| 12 |
| ||
| 2 |
因此可得g（x）在x∈[0，
| π |
| 6 |
| 2 |
点评：本题着重考查了三角函数的解析式求法、正弦函数的图象与性质、函数值域的求法等知识，属于中档题．
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