Question

已知函数f(x)=

lnx

x

．
（1）求f（x）在点（1，0）处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[1，t]上的最大值．

Answer 1

分析：先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），然后对函数求导可得f；(x)=

1-lnx

x2

．
（Ⅰ）根据导数的几何意义可求切线的斜率k=f′（1），从而可求切线方程
（Ⅱ） 先令f′（x）=0，解得x=e，从而可求函数的单调区间，然后分别讨论t＜e时，当t≥e时，f（x）在[1，e]上单调性质，从而求解函数的最值

解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f；(x)=

1-lnx

x2

．
（Ⅰ）切线的斜率k=f′（1）=1，所以切线方程为：y=x-1．
（Ⅱ） 令f′（x）=0，解得x=e
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减．
当t＜e时，函数在[1，t]上单调递增，函数在x=t时有最大值

lnt

t

当t≥e时，f（x）在[1，e]上单调递增，在[e，t]上单调递减，当x=e时函数有最大值为：

1

e

点评：本题主要考查了导数的几何意义及导数的应用：求解过一点的切线方程及函数的单调区间和函数的最值，这是导数的最基本的应用，体现了分类讨论在解题中的应用．