Question

选修4-5
已知函数f（x）=|x-a|，
①若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
②在①的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：①由f（x）≤3可得a-3≤x≤a+3，又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，故有

a-3=-1 a+3=5

，由此解得a的值．
②当a=2时，f（x）=|x-2|，设g（x）=f（x）+f（x+5），利用绝对值不等式的性质可得g（x）的最小值为5．再根据g（x）≥m对一切实数x恒成立，可得m的取值范围．

解答：解：①由f（x）≤3得，|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3．?
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，
所以

a-3=-1 a+3=5

，解得a=2．
②当a=2时，f（x）=|x-2|，设g（x）=f（x）+f（x+5）．
由g（x）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5（当且仅当-3≤x≤2时等号成立）得g（x）的最小值为5．
从而，若f（x）+f（x+5）≥m，
即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（-∞，5]．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．