Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[a，a+1]（a∈R）上的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出二次函数的解析式，根据f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x结合多项式相等的条件，构造方程，可求出待定系数，得到函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，讨论区间[a，a+1]与对称轴的位置关系，可求出函数f（x）在[a，a+1]（a∈R）上的最小值g（a）的表达式．
解答：解：（1）∵二次函数f（x）满足条件f（0）=1，
∴设f（x）=ax²+bx+1，
则f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2ax+a+b=2x
∴2a=2，a+b=0，
则a=1，b=-1，
所以f（x）=x²-x+1
（2）f（x）=x²-x+1=（x-）²-
当a+1≤，即a≤-时，函数f（x）在[a，a+1]上是单调减函数，
则g（a）=f（a+1）=a²+a+1
当a＜＜a+1，即-＜a＜时，则g（a）=f（）=
当a≥时，函数f（x）在[a，a+1]上是单调增函数，则g（a）=f（a）=a²-a+1
综上：g（a）=
点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，函数的解析式的求法--待定系数法，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．