Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*有a_n+S_n=n．
（1）设b_n=a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设c₁=a₁且c_n=a_n-a_n-1（n≥2），求{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）令n=1，可得a₁=

1

2

，由a_n+S_n=n及a_n+1+S_n+1=n+1，两式相减可得2（a_n+1-1）=a_n-1，即2b_n+1=b_n．由等比数列的通项公式可得；
（2）可知a_n=-（

1

2

）ⁿ+1，代入化简可得c_n的表达式．

解答：解：（1）由a₁+S₁=1及a₁=S₁得a₁=

1

2

．
又由a_n+S_n=n及a_n+1+S_n+1=n+1，
得a_n+1-a_n+a_n+1=1，∴2a_n+1=a_n+1．
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，即2b_n+1=b_n．
∴数列{b_n}是以b₁=a₁-1=-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（2）：由（1）知b_n=-

1

2

•（

1

2

）^n-1=-（

1

2

）ⁿ，
∴a_n=-（

1

2

）ⁿ+1．
∴c_n=-（

1

2

）ⁿ+1-[-（

1

2

）^n-1+1]
=（

1

2

）^n-1-（

1

2

）ⁿ=（

1

2

）^n-1（1-

1

2

）=（

1

2

）ⁿ（n≥2）．
又c₁=a₁=

1

2

也适合上式，
∴c_n=（

1

2

）ⁿ．

点评：本题考查等比关系的确定，涉及数列的递推公式，属中档题．