题目内容

数列{a_n}中,a_n＞0,2=a_n+1,前n项和为S_n,求证:+…+＜2.

证明:∵a_n=代入已知有 =S_n-S_n-1+1(n≥2).

S_n-1=()²-2+1

()²=(-1)²

-=1.

当n=1时,=a₁+1a₁=1.

{}是首项为=1,公差为1的等差数列.

=+(n-1)·1=n².

由+…+=+++…+＜1+=1+1-=2-＜2,

∴+…+＜2.

温馨提示

(1)本题利用公式a_n=S_n-S_n-1(n≥2)推理得{}为等差数列,进而得S_n.(2)放缩法:已知数列的应用是解题的关键.

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（任选一题）
①在数列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

(n∈N+)．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
②是否存在常数a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=

(an2+bn+c)对一切正整数n都成立？
并证明你的结论．

数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a_n²-2a_n+2（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}中的任两项互质．
（3）记bn=

，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S₂₀₀₉的整数部分．

在数列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

(n∈N+)．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．

在数列{a_n}中，如果存在正整数T，使得a_n+T=a_n对于任意正整数n均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期．已知数列{x_n}满足xn+2=|xn+1-xn|(x∈N*)，若x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），当数列{x_n}的周期为3时，则数列{x_n}的前2014项的和S₂₀₁₄为（　　）

关于数列有下列四个判断：
①若a，b，c，d成等比数列，则a+b，b+c，c+d也成等比数列；
②若数列{a_n}是等比数列，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n…也成等比数列；
③若数列{a_n}既是等差数列也是等比数列，则{a_n}为常数列；
④数列{a_n}的前n项的和为S_n，且 $数学公式$ ，则{a_n}为等差或等比数列；
⑤数列{a_n}为等差数列，且公差不为零，则数列{a_n}中不会有a_m=a_n（m≠n）．
其中正确命题的序号是________．（请将正确命题的序号都填上）