题目内容
在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，且sin(B+
)=2cosB．
（1）若cosC=
，AC=3，求A、B．
（2）若A∈(0，
)，且cos(B-A)=
，求sinA．
| π |
| 6 |
（1）若cosC=
| ||
| 3 |
（2）若A∈(0，
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
分析：（1）在△ABC中，由sin(B+
)=2cosB 可得 tanB=
，B=
．由cosC=
，得 sinC=
．根据cosA=-cos（B+C），利用两角和差的余弦公式求得cosA，可得A的值．
（2）由条件求得 cos（
-A）=
，sin（
-A）=
．根据sin（-A）=sin[（
-A）-
），利用两角差的正弦公式求得sin（-A）的值，即可求得 sinA 的值．
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
（2）由条件求得 cos（
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）在△ABC中，由sin(B+
)=2cosB 可得 sinB×
+cosB×
=2cosB，∴sinB=
cosB，∴tanB=
，B=
．
由cosC=
，得 sinC=
．
∴cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=-
×
+
×
=
，∴A=arccos
．
（2）若A∈(0，
)，且cos(B-A)=
，则有 cos（
-A）=
，∴sin（
-A）=
．
∴sin（-A）=sin[（
-A）-
）=sin（
-A）cos
-cos（
-A）sin
=
×
-
×
=
，
故 sinA=
．
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
由cosC=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
3-
| ||
| 3 |
3-
| ||
| 3 |
（2）若A∈(0，
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∴sin（-A）=sin[（
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
3-4
| ||
| 10 |
故 sinA=
-3+4
| ||
| 10 |
点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
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