Question

已知a，b∈R⁺，下列不等式：①，②，③，④，其中一定恒成立的是________（填写序号）．

Answer 1

①②③
分析：利用a+b≥证明①正确；把左边展开后再用基本不等式进行证明②正确；利用平方后作差、变形和判断符号证明③正确；把a+b≥取倒数后，再两边同乘以2ab证明出④不正确．
解答：由于a，b∈R⁺，则
①、∵a+b≥，当且仅当a=b时取等号，∴成立，故①正确；
②、=2+≥4，当且仅当时取等号，故②正确；
③、∵=[a⁴+b⁴+2a²b²-ab（a+b）²]
===
=≥0，∴，故③正确；
④、∵a+b≥，当且仅当a=b时取等号，∴，故④不对；
故答案为：①②③．
点评：本题考查了基本不等式的应用，结合做差法以及两边平方后再作差，后不等式取倒数等进行证明，注意：“一正、二定、三相等”的说明．