Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin²A-sin²C）=（sinA-sinB）b，则△ABC的面积的最大值为（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  2

• C．

  3 3

  4

• D．

  3

Answer 1

分析：由正弦定理结合R=1，化简已知等式得到a²+b²-c²=ab，利用余弦定理算出cosC=

1

2

，从而可得C=60°．再利用基本不等式求出ab≤3，用正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积的最大值．

解答：解：由正弦定理，可得b=2RsinB=2sinB，
代入已知等式得 2sin²A-2sin²C=2sinAsinB-2sin²B，
即sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，
∴a²+b²-c²=ab，
由此可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
结合C∈（0°，180°），得C=60°．
∵ab=a²+b²-c²=a²+b²-（2RsinC）²=a²+b²-3≥2ab-3，
∴ab≤3 （当且仅当a=b时，取等号），
∵△ABC面积为S=

1

2

absinC≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

，
∴当且仅当a=b=

3

时，△ABC的面积的最大值为

3 3

4

故选：C

点评：本题给出三角形的边角关系，求三角形面积的最大值，着重考查了正余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．