题目内容

10．已知定点A（-5，0），B（5，4），点P为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上右支上任意一点，求|PB|-|PA|的最大值．

分析 设双曲线左焦点为F2，根据双曲线的定义可知|PB|-|PA|=|PB|-|PF2|-2a，进而可知当P、F2、B三点共线时有最大值，根据双曲线方程可求的F2的坐标，利用两点间的距离公式求得答案．

解答 解：由双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1可知A（-5，0），是双曲线的左焦点，设双曲线左焦点为F2，
则|PB|-|PA|=|PB|-|PF2|-2a，|PB|-|PF2|≤|BF2|，
当P、F2、B三点共线时有最大值|BF2|=4，而对于这个双曲线，2a=8，
所以最大值为4-8=-4．

点评 本题主要考查了双曲线的应用．解题的过程灵活运用了双曲线的定义和用数形结合的方法解决问题．

练习册系列答案
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（Ⅰ）求椭圆的方程；
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A．0B．2C．-1D．-2
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（1）当x＞2时，求证：f（x）＞0；
（2）求证：对任意a∈R，函数g（x）必存在两个零点；
（3）若函数g（x）两个零点均比1小或另一零点比1小，另一个零点比1大，试求实数a的取值范围．

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