Question

已知函数．

（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，试比较与1的大小；

（3）求证：．

Answer 1

解：（1）当时，，定义域是，

，                  ……………1分

令，得_或．                         

当或时，，当时，，

 函数在、上单调递增，在上单调递减．  ………2分

的极大值是，极小值是．

当时，；当时，，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．………4分

(2)当=2时，定义域为（0，+）。

=-1=-1,

                        ………6分



‚当

ƒ                      ……………8分

（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，    ． …11分

， ．      ……12分

 （法二）当时，．

，，即时命题成立．         ………9分

设当时，命题成立，即 ． 

    时，．

根据（Ⅱ）的结论，当时，，即．

令，则有，                   ……………11分

则有，即时命题也成立

因此，由数学归纳法可知不等式成立．                  ……………12分