题目内容
已知△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，若1+
=
，则
的最小值为
| tanA |
| tanB |
| 2c |
| b |
| a2 |
| bc |
1
1
．分析：利用正弦定理将1+
=
转化为cosA=
，求得A，再利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案．
| tanA |
| tanB |
| 2c |
| b |
| 1 |
| 2 |
解答：解：∵A、B、C为△ABC中的角，角A、B、C所对边分别为a，b，c，
又1+
=
=
=
×
=
由正弦定理得：
=
，
∴1+
=
，
而1+
=
，
∴cosA=
，又A为△ABC中的内角，
∴A=
；
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-2bc×
≥2bc-bc=bc（当且仅当b=c时取“=”），
∴
的最小值为1．
故答案为：1．
又1+
| tanA |
| tanB |
| tanB+tanA |
| tanB |
=
| ||||
|
=
| sin(A+B) |
| cosAcosB |
| cosB |
| sinB |
=
| sinC |
| sinBcosA |
由正弦定理得：
| sinC |
| sinBcosA |
| c |
| bcosA |
∴1+
| tanA |
| tanB |
| c |
| bcosA |
而1+
| tanA |
| tanB |
| 2c |
| b |
∴cosA=
| 1 |
| 2 |
∴A=
| π |
| 3 |
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-2bc×
| 1 |
| 2 |
≥2bc-bc=bc（当且仅当b=c时取“=”），
∴
| a2 |
| bc |
故答案为：1．
点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角函数中的恒等变换应用，考查基本不等式，求得cosA=
是关键，属于中档题．
| 1 |
| 2 |
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