Question

如图，直线l过点P（4，1），交x轴、y轴正半轴于A、B两点；
（1）求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）已知直线l₁：y=kx+3k+3（k∈R）经过定点D，当点M（m，n）在线段DP上移动时，求

n+2

m+1

的取值范围；
（3）求

PA

•

PB

的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意设所求直线方程为

x

a

+

y

b

=1，可得

4

a

+

1

b

=1，由基本不等式可得ab的最小值，进而可得答案；
（2）可得直线l₁过定点D（-3，3），

n+2

m+1

表示线段DP上的点与Q（-1，-2）连线的斜率，数形结合可得；
（3）可得

PA

=（a-4，-1），

PB

=（-4，b-1），进而可得

PA

•

PB

=-（4a+b）（

4

a

+

1

b

）+17，由基本不等式可得．

解答：解：（1）由题意设所求直线方程为

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0）
则A（a，0），B（0，b）
∵直线l过点P（4，1），∴

4

a

+

1

b

=1，
由基本不等式可得1=

4

a

+

1

b

≥2

4 a • 1 b

，
变形可得ab≥16，当且仅当

4

a

=

1

b

即a=8，b=2时取等号
∴△AOB面积S=

1

2

ab≥

1

2

×16=8，
∴△AOB面积的最小值为8，此时直线l的方程为

x

8

+

y

2

=1，即x+4y-8=0
（2）直线l₁：y=kx+3k+3可化为y-3=k（x+3），
由点斜式可知直线过定点D（-3，3），

n+2

m+1

表示线段DP上的点与Q（-1，-2）连线的斜率，
由又可得DQ的斜率为

3-(-2)

-3-(-1)

=-

5

2

，PQ的斜率为

-2-1

-1-4

=

3

5

数形结合可得

n+2

m+1

的取值范围为[

3

5

，+∞）∪（-∞，-

5

2

]；
（3）由（1）可得

PA

=（a-4，-1），

PB

=（-4，b-1），
∴

PA

•

PB

=-4（a-4）-（b-1）=-4a-b+17=-（4a+b）（

4

a

+

1

b

）+17
=-（17+

4b

a

+

4a

b

）+17≤-（17+2

4b a • 4a b

）+17=-8，
当且仅当

4b

a

=

4a

b

，即a=b=5时取等号，
∴

PA

•

PB

的最大值为-8，此时直线l的方程为x+y-5=0

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及直线的斜率与基本不等式，以及数形结合的思想，属中档题．