Question

已知函数f(x)=2asin2(

3π

2

+x)+bsin(π+x)sin(x-

3π

2

)，且f(0)=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

．
（1）求a，b的值；    
（2）写出函数f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数诱导公式和二倍角三角公式，化简得f（x）=a（1+cos2x）-

1

2

bsin2x，再结合题中f（0）=2且f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

，建立关于a、b的方程组并解之，即得实数a，b的值； 
（2）利用辅助角公式化简整理，得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，根据正弦函数单调区间的公式，求出f（x）在R上的单调减区间，再与区间[-π，π]求交集，即可得到函数f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．

解答：解：（1）∵sin（

3π

2

+x）=-cosx，sin（π+x）=-sinx，sin（x-

3π

2

）=cosx
∴f(x)=2asin2(

3π

2

+x)+bsin(π+x)sin(x-

3π

2

)
=2acos²x-bsinxcosx=a（1+cos2x）-

1

2

bsin2x
∵f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

∴2a=2且a（1+cos

2π

3

）-

1

2

bsin

2π

3

=

1

2

+

3

2

解之得a=1，b=-2
（2）由（1）得：f（x）=1+cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
得函数的减区间为[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，将其与区间[-π，π]求交集，得
函数f（x）在[-π，π]上的单调递减区间为[-

7π

8

，-

3π

8

]和[

π

8

，

5π

8

]．

点评：本题给出三角函数的表达式，在已知函数对应值的情况下求参数a、b的值，并求函数在[-π，π]上的单调递减区间，着重考查了二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．