题目内容

（2013•珠海二模）数列{an}的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an-1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求和S1•
C
0
n
+S2•
C
1
n
+S3•
C
2
n
+…+Sn+1•
C
n
n
；
（3）设有m项的数列{bn}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg(1+
1
b1
)+lg(1+
1
b2
)+…+lg(1+
1
bm
)=lg(log2am)．
问数列{bn}最多有几项？并求这些项的和．
分析：（1）利用an+1=Sn+1-Sn，即可求得an+1=2an．，继而可证明数列{an}为等比数列，利用等比数列的概念即可求数列{an}的通项公式；
（2）由（1）知Sn=2n-1，将其代入S1•
C
0
n
+S2•
C
1
n
+S3•
C
2
n
+…+Sn+1•
C
n
n
，分组求和．利用二项式定理即可求得其结果；
（3）利用对数的性质可得到2•
b1+1
b1
•
b2+1
b2
…
bm+1
bm
=m-1，利用{bn}是连续的正整数数列，且满足上式，可化为
2(bm+1)
b1
=m-1，利用bm=b1+（m-1），消bm即可求得答案．
解答：解：（1）由Sn=2an-1得Sn+1=2an+1-1，相减得an+1=2an+1-2an，即an+1=2an．
又S1=2a1-1，得a1=1≠0，
∴数列{an}是以1为首项2为公比的等比数列，
∴an=2n-1．…（5分）
（2）由（1）知Sn=2n-1，
∴S1•
C
0
n
+S2•
C
1
n
+S3•
C
2
n
+…+Sn+1•
C
n
n

=（21-1）•
C
0
n
+（22-1）•
C
1
n
+（23-1）•
C
2
n
+…+（2n+1-1）•
C
n
n

=2（
C
0
n
+2
C
1
n
+22
C
2
n
+…+2n
C
n
n
）-（
C
0
n
+
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
）
=2（1+2）n-2n
=2•3n-2n…（10分）
（3）由已知得2•
b1+1
b1
•
b2+1
b2
…
bm+1
bm
=m-1．
又{bn}是连续的正整数数列，
∴bn=bn-1+1．
∴上式化为
2(bm+1)
b1
=m-1．
又bm=b1+（m-1），消bm得mb1-3b1-2m=0．
m=
3b1
b1-2
=3+
6
b1-2
，由于m∈N*，
∴b1＞2，
∴b1=3时，m的最大值为9．
此时数列的所有项的和为3+4+5+…+11=63…（16分）
点评：本题考查二项式定理的应用，考查数列求和，考查数列递推式，突出考查创新思维与抽象逻辑思维的能力，属于难题．
练习册系列答案
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50(13×20-10×7)2
23×27×20×30
≈4.84因为Χ2＞3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性最高为
5%
5%
．
       专业
性别		 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
P（K2≥k） 0.050 0.025 0.010 0.001
k 3.841 5.024 6.635 10.828
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i
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，
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，
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，
b
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a
⊥
b
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a
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b
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