Question

如图 在三棱锥A-BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=

3

，BD=CD=1，另一侧面ABC是正三角形．
（1）求A到平面BCD中的距离；
（2）求平面BAC与平面DAC夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）AH⊥面BCD于H，连BH，CH，DH，则四边形BHCD是正方形，可求A到平面BCD中的距离；
（2）求出平面ABC的法向量、平面ACD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BAC与平面DAC夹角的余弦值．

解答：解：（1）作AH⊥面BCD于H，连BH，CH，DH，则四边形BHCD是正方形，
且AH=1，所以A到平面BCD距离为1．
（2）以D为原点，以A（x₁，y₁）为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，则B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，1，1），
∴

BC

•

DA

=0，则BC⊥AD．
设平面ABC的法向量为

n1

=(x，y，z)，
则由

n1

⊥

BC

知：

n1

•

BC

=-x+y=0；
同理由

n1

⊥

CA

知：

n1

•

CA

=x+z=0．
可取x=1，则

n1

=(1，1，-1)．
同理，可求得平面ACD的一个法向量为

n2

=(1，0，-1)．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

6

3

．

点评：本题考查点面距离，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．