Question

（2012•上饶一模）椭圆C1：

x2

a2

+y2=1(a＞0)与双曲线C2：

x2

m2

-y2=1(m＞0)有公共焦点，左右焦点分别为F₁，F₂，曲线C₁，C₂在第一象限交于点P，I是△PF₁F₂内切圆圆心，O为坐标原点，F₂H垂直射线PI于H点，|OH|=

2

，则I点坐标是

(

2

，2-

3

)

．

Answer 1

分析：先确定椭圆、双曲线的方程，求得P的坐标，利用等面积求得圆心的纵坐标，再利用点到直线的距离，可求圆心的横坐标，从而可得结论．

解答：解：由题意，|PF₁|-|PF₂|=2m=2

2

，∴m=

2

∵椭圆C1：

x2

a2

+y2=1(a＞0)与双曲线C2：

x2

m2

-y2=1(m＞0)有公共焦点，
∴a²-1=m²+1
∴a=2
∴椭圆方程为：

x2

4

+y2=1，双曲线方程为

x2

2

-y2=1
联立方程可得P（

2 6

3

，

3

3

）
设内切圆的半径为r，圆心坐标为（x，r），则由等面积可得

1

2

×2

3

×

3

3

=

1

2

×(4+2

3

)r，
∴r=2-

3

∵PF₂的方程为y=

2 2 +3

5

（x-

3

）
∴由I到直线的距离等于2-

3

可得x=

2

∴圆心坐标为(

2

，2-

3

)．
故答案为：(

2

，2-

3

)

点评：本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查三角形的内切圆，考查学生的计算能力，属于中档题．