题目内容

已知函数，任取，定义集合，点满足，设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，则

（Ⅰ）若函数，则            ；

（Ⅱ）若函数，则的最小正周期为                  .

 

【答案】

（Ⅰ）2，（Ⅱ）2.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）若函数，则 点，，∵，

∴，化简可得，即 ，即，，

又，.

（Ⅱ）若函数，此时，函数的最小正周期为，点，，

如图所示：当点在A点时，点O在曲线上，，，，

当点在曲线上从接近时，逐渐增大，当点在点时，，，，

当点在曲线上从接近时，逐渐减小，当点在点时，，，，

当点在曲线上从接近时，逐渐增大，当点在点时，，，，

当点在曲线上从接近时，逐渐减小，当点在点时，，，，

…依此类推，发现 的最小正周期为2，

故答案为 2．

考点：函数的最值，函数的周期性.

 

练习册系列答案
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已知函数g（x）=logax，其中a＞1．
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n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立，则称函数m（x）在区间[s，t]上的具有性质P．
试判断函数f（x）=|g（x）|在区间[
1
a
，a2]上是否具有性质P？若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由．
（注：
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|=|m(x1)-m(x0)|+|m(x2)-m(x1)|+…+|m(xn)-m(xn-1)|）
（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=sin
π
2
x，任取t∈R，定义集合：At={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤
2
}．设Mt，mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h（t）=Mt-mt．则
（1）函数h（t）的最大值是
2
2
；
（2）函数h（t）的单调递增区间为
（2k-1，2k），k∈Z
（2k-1，2k），k∈Z
．
已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：At={y|y=f(x)，点P(t，f(t))，Q(x，f(x))，|PQ|≤
2
}．设Mt，mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h（t）=Mt-mt．则：
（1）若函数f（x）=x，则h（1）=
 
；
（2）若函数f(x)=sin
π
2
x，则h（t）的最大值为
 
．

已知函数，任取，定义集合，点满足，设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，则

（Ⅰ）函数的最大值为            ；

（Ⅱ）函数的单调区间为                  .

 

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