题目内容

已知函数，任取，定义集合，点满足，设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，则

（Ⅰ）函数的最大值为            ；

（Ⅱ）函数的单调区间为                  .

 

【答案】

2；.

【解析】

试题分析：，点，满足表示以点为圆心，为半径的圆及其内部及其内部函数的图象上所有的点的纵坐标的集合，

，，，设，，，则，

∴，其中是最高点的横坐标，

同理，其中是最高点的横坐标，

∴函数的最大值是2（或时取得），单调增区间是．

考点：函数的值域，抽象函数.

 

练习册系列答案
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已知函数g（x）=logax，其中a＞1．
（Ⅰ）当x∈[0，1]时，g（ax+2）＞1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）设m（x）是定义在[s，t]上的函数，在（s，t）内任取n-1个数x1，x2，…，xn-2，xn-1，设x1＜x2＜…＜xn-2＜xn-1，令s=x0，t=xn，如果存在一个常数M＞0，使得
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立，则称函数m（x）在区间[s，t]上的具有性质P．
试判断函数f（x）=|g（x）|在区间[
1
a
，a2]上是否具有性质P？若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由．
（注：
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|=|m(x1)-m(x0)|+|m(x2)-m(x1)|+…+|m(xn)-m(xn-1)|）
（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=sin
π
2
x，任取t∈R，定义集合：At={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤
2
}．设Mt，mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h（t）=Mt-mt．则
（1）函数h（t）的最大值是
2
2
；
（2）函数h（t）的单调递增区间为
（2k-1，2k），k∈Z
（2k-1，2k），k∈Z
．
已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：At={y|y=f(x)，点P(t，f(t))，Q(x，f(x))，|PQ|≤
2
}．设Mt，mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h（t）=Mt-mt．则：
（1）若函数f（x）=x，则h（1）=
 
；
（2）若函数f(x)=sin
π
2
x，则h（t）的最大值为
 
．

已知函数，任取，定义集合，点满足，设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，则

（Ⅰ）若函数，则            ；

（Ⅱ）若函数，则的最小正周期为                  .

 

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