Question

已知动圆过定点Q（1，0），且与定直线x=-1相切．
（1）求此动圆圆心P的轨迹C的方程；
（2）若过点M（4，0）的直线l与曲线C分别相交于A，B两点，若2

AM

=

MB

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义即可得出；
（2）设直线AB的方程为：y=k（x-4）（k存在且k≠0），把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及已知向量相等即可得出直线的斜率，进而得出直线的方程．

解答：解：（1）由题意知，动圆圆心M的轨迹C是以定点Q（1，0）为焦点，以定直线
x=-1为准线的抛物线，其方程为：y²=4x；
（2）设直线AB的方程为：y=k（x-4）（k存在且k≠0）．
联立

y=k(x-4) y2=4x

，消去x，得 ky²-4y-16k=0，
显然△＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-16．

AM

=(4-x1，-y1)，

MB

=(x2-4，y2)．
又∵2

AM

=

MB

，∴-2y₁=y₂．
联立

y1+y2= 4 k y1y2=-16 -2y1=y2

，消去y₁，y₂得k²=2，解得k=±

2

．
∴直线l的方程为y=±

2

(x-4)．

点评：熟练掌握抛物线的定义、直线与圆锥曲线相交问题的解题模式、根与系数的关系、向量相等的运用是解题的关键，该题是中档题．