Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x²相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q，
（1）若

OA

•

OB

=2，求c的值；
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．

Answer 1

分析：（1）设过C点的直线的方程，与抛物线方程联立设出A，B的坐标则

OA

和

OB

可分别表示出来，根据

OA

•

OB

=2求得-c-k²c+kc•k+c²=2，求得c．
（2）设过Q的切线方程，通过对抛物线方程求导求得切线的斜率，进而可表示出切线方程求得与y=-c的交点为M的坐标进而根据P为线段AB的中点，求求得Q点的坐标，根据x₁x₂=-c，进而可表示出M的坐标，判断出以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线．
（3）根据（2）可知点Q的坐标，根据PQ⊥x轴，推断出点P的坐标，进而求得

x1+x2

2

=

k

2

，判断出P为AB的中点．

解答：解：（1）设过C点的直线为y=kx+c，所以x²=kx+c（c＞0），即x²-kx-c=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

OA

=（x₁，y₁），

OB

=(x2，y2)，
因为

OA

•

OB

=2，所以x₁x₂+y₁y₂=2，即x₁x₂+（kx₁+c）（kx₂+c）=2，x₁x₂+k²x₁x₂-kc（x₁+x₂）+c²=2
所以-c-k²c+kc•k+c²=2，即c²-c-2=0，
所以c=2（舍去c=-1）

（2）设过Q的切线为y-y₁=k₁（x-x₁），y^/=2x，所以k₁=2x₁，即y=2x₁x-2x₁²+y₁=2x₁x-x₁²，
它与y=-c的交点为M(

x1

2

-

c

2x1

，-c)，
又P(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)=(

k

2

，

k2

2

+c)，
所以Q(

k

2

，-c)，
因为x₁x₂=-c，所以-

c

x1

=x2，
所以M(

x1

2

+

x2

2

，-c)=(

k

2

，-c)，
所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线．

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q(

k

2

，-c)，
因为PQ⊥x轴，所以P(

k

2

，yP)
因为

x1+x2

2

=

k

2

，所以P为AB的中点．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．