题目内容

函数f(x)=x3+ax2+bx在x=-1处取得极值，且f(x)的图像在P(1，f(1))处的切线平行于直线y=8x.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式和极值；

(Ⅱ)对任意α、β∈R；求证|f(sinα)-f(cosβ)|≤．

解：(Ⅰ)由已知得得

∴f(x)=x3+2x2+x．(4分) 则f′(x)=3x2+4x+1，

由f′(x)=0得，x=-1或x=.

x

(-∞,-1)

-1

(-1,)

(,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

增

0

减

增

∴f(x)极大=f(-1)=0  f(x)极小=f()=.

(Ⅱ)∵α、β∈R，∴-1≤sinα≤1，-1≤cosβ≤1．

由(Ⅰ)知f(x)在[-1，1]上的最大、最小值分别为f(1)=4，f()=，

∴|f(sinα)-f(cosβ)≤4-()=．


练习册系列答案
相关题目
设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
（1）判断函数f(x)=
x
3
+
cosx
4
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（3）设
1
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是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2，x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-
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2
x2+3x-
1
4
，则它的对称中心为
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
；计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012
．
已知函数f(x)=-x3+
1
2
ax2+b．
（1）若y=f（x）在x=1处的极值为
5
2
，求y=f（x）的解析式并确定其单调区间；
（2）当x∈（0，1]时，若y=f（x）的图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，求当0≤θ≤
π
4
时a的取值范围．
（2009•孝感模拟）命题p：方程2x2+mx-2m2-5m-3=0有一正根一负根；
命题q：函数f(x)=x3+mx2+(m+
43
)x+6在R上有极值；
若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
判断函数f(x)=
x3(ax-1)ax+1
(a＞0，a≠1)的奇偶性，并加以证明．

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