Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．

Answer 1

分析：由三角形的内角和公式及二倍角公式可得，4sin²

A+B

2

-cos2C=4×

1+cosC

2

-(2cos2C-1)=

7

2

，从而可得4×

1+cosC

2

-(2cos2C-1)=

7

2

解方程可求 cosC，进而求C；
（II）由（I）得A+B=

2π

3

代入可得，sinA+sinB=sinA+sin(

2π

3

-A)，化简可得其结果为

3

sin(A+

π

6

)，利用正弦函数的性质可求出答案．

解答：解：∵A，B，C为三角形的内角∴A+B+C=π
∵4sin2

A+B

2

-cos2C=

7

2

∴4cos2

C

2

-cos2C=

7

2

∴4×

1+cosC

2

-(2cos2C-1)=

7

2

即2cos2C-2cosC+

1

2

=0∴cosC=

1

2

∵0＜C＜π∴C=

π

3

（II）由（I）得A+B=

2π

3

∴sinA+sinB=sinA+sin(

2π

3

-A)
=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)
当A+

π

6

=

π

2

时即A=

π

3

 sinA+sinB取得最大值

3

点评：本题主要考查了利用二倍角公式对三角函数式进行化简、求值，还考查了辅助角公式的应用及正弦函数的 性质的应用，属于基础知识的简单综合运用，属于中档试题．