Question

如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁=2．
（ I）求证：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（Ⅱ）求四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积；
（Ⅲ）求二面角B-C₁C-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据正方形的性质，得到AC⊥BD，结合AA₁⊥BD，可得BD⊥平面A₁ACC₁．再用面面垂直的判定定理，证出平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．
（II）过D₁作D₁H⊥AD于H，在直角梯形AA₁D₁D中算出D₁H=，从而四棱台的高A₁A=，由此用棱台的体积公式求出四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．
（III）设AC与BD交于点O，连接OC₁，过点B在平面B₁BCC₁内作BM⊥C₁C于M，连接MD．利用线面垂直的性质与判定，可证出C₁C⊥MD，从而∠BMD是二面角B-C₁C-D的平面角．然后在Rt△C₁OC中算出OM的长，在Rt△BMO中算出BM的长，同理得到DM的长，最后在△BMD中用余弦定理，可得二面角B-C₁C-D的余弦值等于．
解答：解：（Ⅰ）∵AA₁⊥平面 ABCD，BD?平面 ABCD，∴AA₁⊥BD．
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵AA₁与AC是平面A₁ACC₁内的两条相交直线，
∴BD⊥平面A₁ACC₁．
∵BD?平面B₁BDD₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁． …（4分）
（Ⅱ）过D₁作D₁H⊥AD于H，则D₁H∥A₁A．
∵AA₁⊥平面 ABCD，∴D₁H⊥平面ABCD．
在Rt△D₁DH中，可得，从而A₁A=D₁H=，
∴四棱台的体积为：．    …（8分）
（Ⅲ）设AC与BD交于点O，连接OC₁．
过点B在平面B₁BCC₁内作BM⊥C₁C于M，连接MD．
由（Ⅰ）知BD⊥平面A₁ACC₁，
∵C₁C?平面A₁ACC₁，∴BD⊥C₁C．
又∵BM⊥C₁C，BM、BD是平面BMD内的相交直线，
∴C₁C⊥平面BMD，
∵MD?平面BMD，∴C₁C⊥MD．
∴∠BMD是二面角B-C₁C-D的平面角．
在Rt△C₁OC中，可得，从而得到．
在Rt△BMO中，可得，同理可求得．
在△BMD中，由余弦定理得：．
即二面角B-C₁C-D的余弦值等于…（12分）
点评：本题给出一个特殊四棱台，叫我们证明面面垂直，求台体的体积并求二面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、棱台的体积公式和二面角平面角的作法等知识，属于中档题．