Question

12．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求直线A₁B和平面ABCD所成的角；
（2）求直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

Answer 1

分析 （1）由A₁A⊥平面ABCD，A为垂足，得∠A₁BA是直线A₁B和平面ABCD所成的角，由此能求出直线A₁B和平面ABCD所成的角的大小．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角的大小．

解答 解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁A⊥平面ABCD，A为垂足，
∴∠A₁BA是直线A₁B和平面ABCD所成的角，
∵A₁A=AB，A₁A⊥AB，
∴∠A₁BA=45°，
∴直线A₁B和平面ABCD所成的角为45°．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则A₁（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
设平面A₁B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角为θ，
则sinθ=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角为30°．

点评 本题考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．