题目内容

已知函数，函数与函数图像关于轴对称.

（1）当时，求的值域及单调递减区间；

（2）若，求值.

 

【答案】

（1）当时，的值域为，单调递减区间为；

（2）.

【解析】

试题分析：（1）先将函数的解析式进行化简，化简为，利用计算出的取值范围，再结合正弦曲线确定函数的值域，对于函数在区间上的单调区间的求解，先求出函数在上的单调递减区间，然后和定义域取交集即得到函数在区间上的单调递减区间；（2）利用等式计算得出的值，然后利用差角公式将角凑成的形式，结合两角差的正弦公式进行计算，但是在求解的时候计算时，利用同角三角函数的基本关系时需要考虑角的取值范围.

试题解析：（1）

             2分

又与图像关于轴对称，得

当时，得，得即   4分

单调递减区间满足，得

取，得，又，单调递减区间为           7分

（2）由（1）知

得，由于      8分

而10分

                            13分

考点：1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系；3.两角差的正弦公式

 

练习册系列答案
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已知函数f（x）=（m-1）x2-n（x∈[0，1]）的反函数为f-1（x），且m为函数g（x）=lnx与函数h（x）=
1
2
(x-1)(x≤1)
x2-4x+3(x＞1)
的交点个数，n=
lim
x→∞
(
x2+x+1
-
x2-x+1
)，则函数y=[f-1（x）]2+
x2-1
的值域是
{0}
{0}
．
已知函数f（x）=ax2+kbx（x＞0）与函数g（x）=ax+blnx，a、b、k为常数，它们的导函数分别为y=f′（x）与y=g′（x）
（1）若g（x）图象上一点p（2，g（2））处的切线方程为：x-2y+2ln2-2=0，求a、b的值；
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y2-y1x2-x1
，证明：x1＜x0＜x2．

已知函数，函数与函数图像关于轴对称.

（1）当时，求的值域及单调递减区间；

（2）若，求值.

 

已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

 

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