Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，求导，通过讨论的取值确定导数的符号变化，进而确定函数的单调区间；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到函数的单调区间，再通过讨论与的大小确定函数在给定区间上的最值．

详解：（Ⅰ）由函数可知，

函数的定义域是，且 ，

当时， ，

令，得；令，得，

∴的单调增区间为，单调减区间是；

当时，令得或，

若，即，则恒成立，

∴在上单调递增，

若，即，则和时， ，

当时， ，

∴在和上单调递增，在上单调递减；

若，即，则和时， ，

当时，，

∴在和上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时，的单调区间为，单调减区间是，

当时， 的单调增区间为和，

单调减区间是；

当时， 的单调增区间是；

当时， 的单调增区间是和，单调减区间是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当，即时， 在上单调递增，

∴在上的最小值是；

当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，

∴在上的最小值是 ，

当时，即时， 在上单调递减，

∴在的最小值是 ，

综上所述，当时， 在上的最小值是；

当时， 在上的最小值是；

当时， 在上的最小值是．