Question

已知数列{a_n}的通项公式为an=

1

n(n+1)

(n∈N*)，其前n项和

S

n

=

9

10

，则双曲线

x2

n+1

-

y2

n

=1的渐近线方程为（　　）

• A、y=±

  2 2

  3

  x
• B、y=±

  3 2

  4

  x
• C、y=±

  3 10

  10

  x
• D、y=±

  10

  3

  x

Answer 1

分析：根据数列{a_n}的通项利用裂项求和算出S_n，代入题中解出n=9，可得双曲线的方程为

x2

10

-

y2

9

=1，再用双曲线的渐近线方程的公式即可算出该双曲线的渐近线方程．

解答：解：∵数列{a_n}的通项公式为an=

1

n(n+1)

(n∈N*)，
∴an=

1

n

-

1

n+1

，可得

S

n

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)=

9

10

即1-

1

n+1

=

9

10

，解之得n=9．
∴双曲线的方程为

x2

10

-

y2

9

=1，得a=

10

，b=3
因此该双曲线的渐近方程为y=±

b

a

x，即y=±

3 10

10

x．
故选：C

点评：本题给出数列的前n项和，求项数n并求与之有关的双曲线渐近线方程．着重考查了数列的通项与求和、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．