Question

（本题满分15分）已知正方体的棱长为1，点在上，点在上，且
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）用表示平面和侧面所成的锐二面角的大小，求；
（3）若分别在上，并满足，探索：当的重心为且时，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）  （2），则（3） .                   

第一问中利用以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
设为平面的法向量，又正方体的棱长为1，
借助于，得到结论
第二问中，，是平面的法向量
，又平面和侧面所成的锐二面角为
，则 
第三问中，因为分别在上，且
故，
所以当的重心为
然后利用垂直关系得到结论。
解：（1）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
又正方体的棱长为1，
设为平面的法向量
 令，则

设直线与平面所成角为，
直线与平面所成角的余弦值为         （5分）
（2），是平面的法向量
，又平面和侧面所成的锐二面角为
，则         （5分）
（3）因为分别在上，且
故，
所以当的重心为，而
，
当时，
为恒等式
所以，实数的取值范围为                    （5分）