Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AA₁=AB=AC=1．
（1）设M是棱BB₁的中点，求异面直线MC与AA₁所成的角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）若M是棱BB₁上的任意一点，求四棱锥C₁-MAA₁B₁体积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由棱柱的性质知BB₁∥AA₁，故∠BMC为异面直线MC与AA₁所成的角，在△BCM中求得角的正切值，用反三角函数表示角；
（2）判定A₁C₁为四棱锥C₁-MAA₁B₁的高，求得底面面积的范围，利用体积公式可求棱锥的体积的取值范围．

解答：解：（1）∵BB₁∥AA₁，∴∠BMC为异面直线MC与AA₁所成的角，
∵，∠BAC=90°，AA₁=AB=AC=1．
∴BC=

2

，∵M是棱BB₁的中点，∴MB=

1

2

，
∴tan∠BMC=2

2

，∴∠BMC=arctan2

2

；
（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴侧棱AA₁⊥A₁C₁，又A₁C₁⊥A₁B₁，
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴四棱锥C₁-MAA₁B₁的高为1，
底面AMB₁A₁的面积为S，则

1

2

=S△AA1B1≤S≤S矩形ABB1A1=1，
∴四棱锥C₁-MAA₁B₁体积V的取值范围为[

1

6

，

1

3

]．

点评：本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了棱锥的体积计算，解题的关键是根据直棱柱的性质判定棱锥的高．