Question

已知两点M（－2，0）、N（2，0），动点P（x，y）在轴上的射影为H，是2和的等比中项。

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。

Answer 1

解：（1）动点为P（x，y），则H（0，y），

∴，且，由题材意得

即，

∴为所求点P的轨迹方程。

（2）若直线与双曲线C右支交于点Q时，

而N（2，0）关于直线的对称点E（1，－l），则，

∴双曲线C的实轴长

（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为。

若直线与双曲线C左支交于点Q时，

同理可求得双曲线C的实轴长2a最大为。

所以，双曲线C的实半轴长。

又∵，∴

      故双曲线方程为。