Question

直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（8，0），动点M（x，y）满足

MO

•

ME

=x²，
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过定点F（2，0）作互相垂直的直线l₁，l₂分别交轨迹C于点M，N和点R，Q，求四边形MRNQ面积的最小值；
（3）定点P（2，4），动点A，B是轨迹C上的三个点，且满足K_PA•K_PB=8试问AB所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由．

Answer 1

（1）由题意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x²，
∴y²=8x为点M的轨迹方程；
（2）由题设条件知直线l₁，l₂的斜率都存在，且不为0，
设MN的方程为y=k（x-2），与y²=8x联立，得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，
由抛物线定义知：|MN|=x1+x2+4=

8(k2+1)

k2

，
同理，RQ的方程为y=-

1

k

(x-2)，|RQ|=8(k2+1)，
∴SMRNQ=

1

2

|MN||RQ|=32×

(k2+1)2

k2

=32(k2+

1

k2

+2)≥32(2+2)=128，
当且仅当k²=1，k=±1时，取“=”号，故四边形MRNQ面积的最小值为128．
（3）设A（

y12

8

，y1），B(

y22

8

，y2)，（y₁≠y₂），
则kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，
∴kPA•kPB=

64

(y1+4)(y2+4)

=8，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0…①
lAB：y-y1=

8

y1+y2

(x-

y12

8

)，
∴y=

8

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
∴y₁y₂-（y₁+y₂）y+8x=0，
与①比较知，直线AB过定点（1，-4）．