题目内容

已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则 $数学公式$ 的值等于________．

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分析：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分别是AB、AC的中点．根据Rt△AOE中余弦的定义，算出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =8，同理得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =2．再由M是BC边的中点，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （8+2）=5．
解答：

过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则E、F分别是AB、AC的中点
可得Rt△AEO中，cos∠OAE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =8，
同理可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =2
∵M是BC边的中点，可得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ =5
故答案为：5
点评：本题将△ABC放在它的外接圆O中，求中线AM对应的向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量积之值，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识，属于中档题．