Question

（2013•杭州一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=（1，λsinA），

n

=（sinA，1+cosA），且

m

∥

n

（Ⅰ）若λ=2，求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=

3

sinA，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量共线的充要条件即可得出；
（Ⅱ）利用正弦、余弦定理及基本不等式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由

m

∥

n

，得2sin²A-1-cosA=0，化为2cos²A+cosA-1=0，
解得cosA=

1

2

或cosA=-1（舍去），
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）∵sinB+sinC=

3

sinA，
由正弦定理得b+c=

3

a，
由

m

∥

n

，得λsin²A-1-cosA=0，化为λcos²A+cosA+1-λ=0，
解得cosA=

λ-1

λ

或cosA=-1（舍去）．
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-a2-2bc

2bc

=

a2

bc

-1≥

a2

( b+c 2 )2

-1=

1

3

，
综上，λ需要满足

1

3

≤

λ-1

λ

＜1，解得λ≥

3

2

．

点评：熟练掌握向量共线的充要条件、正弦、余弦定理、基本不等式及不等式的解法是解题的关键．