Question

已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，且当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数a＜0，使得当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值是3？

Answer 1

解：（Ⅰ）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]，故f（-x）=-ax+ln（-x）．
又f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，∴-f（x）=-ax+ln（-x），
∴f（x）=ax-ln（-x），故f（x）=．
（Ⅱ）假设存在实数a＜0，使得当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值是3，
则由f′（x）=a-= 知，
①当≤-e，即-≤a＜0时，由x∈[-e，0）得f′（x）≥0，故f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函数，
故f（x）的最小值为f（-e）=-ae-1=3，解得 a=-＜- （舍去）．
②当x∈（0，e]，即a＜-，则有当x∈[-e，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）的最小值等于 f（）=1-ln（-）=3，
解得 a=-e²．
综上，存在实数a=-e²，似的当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值是3．
分析：（Ⅰ）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]，故f（-x）=-ax+ln（-x），根据函数的奇偶性求出此时的解析式，即可得到函数在定义域内的解析式．
（Ⅱ）假设存在实数a＜0，满足条件，①当≤-e，即-≤a＜0时，利用单调性球的函数的最小值，a值不存在，②当x∈（0，e]，即a＜-，利用单调性球的函数的最小值，解出 a=-e²．
点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，函数的奇偶性，利用导数研究函数得最值，体现了分类讨论的数学思想，确定函数的最小值，是解题的难点和关键．