Question

已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x
（1）求f（x）．
（2）x∈[

1

2

，2]当时，求f（2^x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，假设二次函数，结合f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，即可求出函数的解析式；
（2）利用换元法，转化为二次函数，利用配方法，结合函数的单调性，即可求出f（2^x）的最大值与最小值．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，因为f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x
所以2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x…（3分）
故有

2a=2 2b=-4 2a+2c=0

即

a=1 b=-2 c=-1

，所以f（x）=x²-2x-1…（6分）
（2）当x∈[

1

2

，2]时，2x∈[

2

，4]，f（2^x）=（2^x）²-2•2^x-1…．（8分）
令t=2^x，t∈[

2

，4]，所以y=t²-2t-1=（t-1）²-2…（10分）
∴函数在[

2

，4]上是单调增函数，
所以当t=

2

时，ymin=1-2

2

；当t=4时，y_max=7…（12分）

点评：二次函数是重要的初等函数，待定系数法也是求二次函数的重要方法，二次函数的最值问题，配方法是首选方法．