Question

已知函数f(x)=ln(1+x)-x

　　　　（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

　　（Ⅱ）记f(x)在区间[0，n]（n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.

    （Ⅲ）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；

（Ⅳ）求证：

Answer 1

本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力.

解法一：

（I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且 =-1=.

由＞0得-1＜x＜0，f(x)的单调递增区间为（-1，0）；

由＜0得x＞0，f(x)的单调递增区间为（0，+）.

(II)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以b_n=f(n)=ln(1+n)-n,

则a_n=ln(1+n)-b_n=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.

(i)

＞

又 ,

因此c＜1，即实数c的取值范围是（-，1].

（II）由（i）知

因为[]2

=.

所以＜＜- (nN*),

则＜

N*）解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为f(x)在上是减函数，所以

　　　则

（i）因为对n∈N*恒成立.所以对n∈N*恒成立.

　　则对n∈N*恒成立.

　　设 n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立.

　　考虑

　　因为

　　所以内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小，

又因为

所以对一切因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1].

(ⅱ) 由(ⅰ)知

     下面用数学归纳法证明不等式＜( n∈N*).

     ①当n=1时，左边＝，右边＝，左边＜右边.不等式成立.

     ②假设当n=k时,不等式成立.即

当n=k+1时，

=

即n＝k＋1时，不等式成立

综合①、②得，不等式成立.

所以

＜

N*）.